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核方法的主要思想

核方法(kernel method)的主要思想

2012年07月05日 16:31:02

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本文对核方法(kernel method)进行简要的介绍。

核方法的主要思想是基于这样一个假设:“在低维空间中不能线性分割的点集,通过转化为高维空间中的点集时,很有可能变为线性可分的” ,例如下图

核方法的主要思想

左图的两类数据要想在一维空间上线性分开是不可能的,然而通过F(x)=(x-a)(x-b)把一维空间上的点转化为右图上的二维空间上,就是可以线性分割的了。

然而,如果直接把低维度的数据转化到高维度的空间中,然后再去寻找线性分割平面,会遇到两个大问题,一是由于是在高维度空间中计算,导致curse of dimension问题;二是非常的麻烦,每一个点都必须先转换到高维度空间,然后求取分割平面的参数等等;怎么解决这些问题?答案是通过核戏法(kernel trick)。

(pku, shinningmonster, sewm)

Kernel Trick: 定义一个核函数K(x1,x2) = <\phi(x1), \phi(x2)>, 其中x1和x2是低维度空间中点(在这里可以是标量,也可以是向量),\phi(xi)是低维度空间的点xi转化为高维度空间中的点的表示,< , > 表示向量的内积。

这里核函数K(x1,x2)的表达方式一般都不会显式地写为内积的形式,即我们不关心高维度空间的形式。核函数巧妙地解决了上述的问题,在高维度中向量的内积通过低维度的点的核函数就可以计算了。这种技巧被称为Kernel trick。这里还有一个问题:“为什么我们要关心向量的内积?”,一般地,我们可以把分类(或者回归)的问题分为两类:参数学习的形式和基于实例的学习形式。

参数学习的形式就是通过一堆训练数据,把相应模型的参数给学习出来,然后训练数据就没有用了,对于新的数据,用学习出来的参数即可以得到相应的结论;

而基于实例的学习(又叫基于内存的学习)则是在预测的时候也会使用训练数据,如KNN算法。而基于实例的学习一般就需要判定两个点之间的相似程度,一般就通过向量的内积来表达。从这里可以看出,核方法不是万能的,它一般只针对基于实例的学习。

紧接着,我们还需要解决一个问题,即核函数的存在性判断和如何构造? 既然我们不关心高维度空间的表达形式,那么怎么才能判断一个函数是否是核函数呢?

Mercer 定理:任何半正定的函数都可以作为核函数。所谓半正定的函数f(xi,xj),是指拥有训练数据集合(x1,x2,...xn),我们定义一个矩阵的元素aij = f(xi,xj),这个矩阵式n*n的,如果这个矩阵是半正定的,那么f(xi,xj)就称为半正定的函数。这个mercer定理不是核函数必要条件,只是一个充分条件,即还有不满足mercer定理的函数也可以是核函数。常见的核函数有高斯核,多项式核等等,在这些常见核的基础上,通过核函数的性质(如对称性等)可以进一步构造出新的核函数。SVM是目前核方法应用的经典模型。

上述是目前我所理解到的核方法的主要精神。

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